本文來自微信公眾號： 返樸 ，作者：嘉偉

2025年，三維掛谷猜想，歷史上著名的希爾伯特第6問題，即物理學(xué)公理化，紛紛在長期沉寂之后迎來了突破。昨晚，王虹和鄧煜也分別憑借三維掛谷猜想和希爾伯特第6問題摘得了有“數(shù)學(xué)界諾貝爾獎”之稱的菲爾茲獎。

我們近期已重發(fā)過對王虹三維掛谷猜想的詳解（參見90后數(shù)學(xué)家王虹未曾“贏在起跑線”，但她的工作值得最高殊榮），今天在高興之余，讓我們回顧三位數(shù)學(xué)家鄧煜、Zaher Hani和馬驍是如何解決希爾伯特第6問題的，這是數(shù)學(xué)與物理學(xué)交融的偉大成果。

本文經(jīng)鄧煜審看。

曾經(jīng)看到過一種非常有詩意的說法：牛頓力學(xué)消除了時間的方向。如若回憶一下經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)的牛頓三大定律，就可以發(fā)現(xiàn)，定律的描述之中是沒有時間方向這一參數(shù)的。這也意味著，在一個時間倒流的宇宙里，經(jīng)典力學(xué)的表述形式將和我們所熟知的并無任何差異。這種理論性質(zhì)一般被稱為時間反演對稱性。

2006年的IMO（國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽，International Mathematical Olympiad）金牌得主鄧煜，當(dāng)年被保送至北大數(shù)學(xué)系，2年之后又轉(zhuǎn)去了麻省理工學(xué)院（MIT）繼續(xù)研讀數(shù)學(xué)專業(yè)。如今他已經(jīng)是頗有建樹的青年數(shù)學(xué)家，現(xiàn)為芝加哥大學(xué)教授。他和密歇根大學(xué)數(shù)學(xué)系教授Zaher Hani，以及密歇根大學(xué)助理教授馬驍（本科畢業(yè)于中科大少年班）組成的團隊（簡稱為DHM團隊）率先在2025年3月3日于arXiv上貼出文章，宣稱解決了希爾伯特第6問題。

鄧煜、Hani和馬驍發(fā)布在arXiv上的論文標(biāo)題和摘要

鄧煜近照|圖源：zhihu.com/question/14073117334

雖然125年前提出的希爾伯特第6問題，主旨是物理學(xué)的公理化，但如果追溯其歷史淵源，可以發(fā)現(xiàn)希爾伯特在闡述該問題的時候，未嘗沒有將熱力學(xué)第二定律所刻畫的宏觀現(xiàn)象歸結(jié)于微觀機械行為的動機。所以從一個浪漫且稍顯夸張的角度來說，如果經(jīng)驗證無誤的話，鄧煜等人的論文在某種意義上相當(dāng)于為牛頓力學(xué)找回了時間的箭頭。

當(dāng)然，實際上牛頓力學(xué)是一個很寬泛的概念，它包含了三體問題、KAM定理，等等。本身就可以說牛頓力學(xué)蘊含了時間的單向性，這些則遠非當(dāng)代數(shù)學(xué)家的功勞。

時間之矢：經(jīng)典力學(xué)與熱力學(xué)的緊張關(guān)系

早在17世紀(jì)，艾薩克·牛頓（Isaac Newton）就開始對運動擴散的不可逆性現(xiàn)象產(chǎn)生了濃厚的興趣，特別是它似乎還關(guān)乎機械宇宙是否還需要神學(xué)介入的問題。牛頓認為，一般地說，“運動多是失去容易得到難，總是趨于退化。”

等到18世紀(jì)和19世紀(jì)早期，人們開始注意到，有很多自然現(xiàn)象似乎并無時間反演對稱性。比如說氣體的擴散、摩擦力的耗散、熱量總是從溫度高的物體流向溫度低的問題……名為熱力學(xué)的物理學(xué)分支開始發(fā)展出一個統(tǒng)一的理論框架，德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家魯?shù)婪颉た藙谛匏梗≧udolf Clausius）在1865年第一次提出了熱力學(xué)第二定律的現(xiàn)代表述：宇宙的熵總是趨于最大。

但這和時間的方向性又有何關(guān)系呢？請細想一下我們是怎么知道時間是有方向的？

如果播放一段視頻，畫面里有個杯子落到地上，摔成了碎片。沒有人會覺得這一過程有什么不自然的問題。但是，如果看到地上四散的玻璃碎片躍起，拼成了一個完整的玻璃杯，我們都會意識到，這段視頻是倒放的！

上面簡單的思想實驗其實揭示了我們認知時間的方式，而這一方式本質(zhì)上是人類對熱力學(xué)第二定律的樸素經(jīng)驗——就算完全不了解熱力學(xué)第二定律的人，因為世界上的萬事萬物都受其制約，所以通過身邊的現(xiàn)象，自然會對這一基本物理學(xué)定律有所感知。

19世紀(jì)中葉，新生的熱力學(xué)理論享有一段與牛頓力學(xué)沒有明顯沖突的短暫安寧時期。詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）和路德維?！げ柶澛↙udwig Eduard Boltzmann）把氣體分子的運動理論和統(tǒng)計學(xué)上的概念聯(lián)系了起來。玻爾茲曼更是首次把統(tǒng)計力學(xué)與熱力學(xué)第二定律之間的聯(lián)系，闡釋得明明白白。

麥克斯韋引入了著名的分子混沌假設(shè)。它假設(shè)兩個發(fā)生碰撞的粒子的速度是彼此不相關(guān)的，并且與具體位置無關(guān)。這意味著可以通過分別考慮每個粒子的概率來計算一對具有給定速度的粒子碰撞的概率，而忽略找到一個具有速度v的粒子和找到另一個具有速度v′的粒子的概率之間的相關(guān)性。這個假設(shè)是玻爾茲曼方程的關(guān)鍵成分，它允許從BBGKY層次結(jié)構(gòu)（描述多粒子系統(tǒng)中各個粒子的分布函數(shù)）過渡到玻爾茲曼方程，玻爾茲曼用它推導(dǎo)出了氣體分子的熱力學(xué)第二定律——H定理（H-theorem）。

他們的方法是把氣體分子看作是剛性的小球，根據(jù)小球速度的統(tǒng)計分布，可以得到氣體宏觀行為的特征——如根據(jù)分子運動來描述的熱現(xiàn)象，畢竟溫度就是物體內(nèi)部分子或原子的平均動能的量度。

但有個更加基本的問題：考察單個分子小球，沒有什么神秘的力量迫使它遵循熱力學(xué)第二定律，它僅僅是遵照一般的動力學(xué)定律，運動、碰撞、改變路徑……全部過程都是可逆的，每個分子也都是如此，但是在整體上，最終實現(xiàn)了熱力學(xué)第二定律所指向的單一結(jié)果。而這種確定的方向性——如溫度不同的氣體混合在一起，最終溫度會變得均勻——我們通常就認為，這是時間的方向！

或許有讀者會猜測，熱力學(xué)定律與經(jīng)典力學(xué)存在“矛盾”，是否是因為它其實是量子現(xiàn)象？遺憾的是，量子力學(xué)里的薛定諤方程也是時間反演對稱的。實際上幾乎所有的物理學(xué)定律都滿足時間反演對稱性，像熱力學(xué)第二定律這樣有時間方向性的定律反而是少數(shù)派。

質(zhì)疑：從物理過渡到數(shù)學(xué)

不出所料，這個深奧的物理問題自然而然地引出了深奧的數(shù)學(xué)問題……以及爭端。

約翰·洛施密特（Johann Josef Loschmidt）是奧地利的科學(xué)家，在熱力學(xué)、光學(xué)、電動力學(xué)和化學(xué)領(lǐng)域做出了開創(chuàng)性的工作。他雖是玻爾茲曼的好友，但無法接受從時間對稱的動力學(xué)和形式中推導(dǎo)出不可逆的過程！在科學(xué)史上，從時間對稱的動力學(xué)和形式中推導(dǎo)出不可逆的過程被稱為洛施密特悖論。

洛施密特并不孤單，實際上大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）也反對統(tǒng)計力學(xué)。策梅洛是如今數(shù)學(xué)界使用最廣泛的公理系統(tǒng)——策梅洛-弗蘭克爾公理系統(tǒng)（ZF，如果加上選擇公理則是ZFC）——的創(chuàng)建者之一。他意識到，玻爾茲曼的H-定理與亨利·龐加萊（Jules Henri Poincaré）的回歸定理相互沖突。龐加萊是那個時代的數(shù)學(xué)界領(lǐng)袖，拓撲學(xué)上著名的龐加萊猜想正是他提出的。

龐加萊回歸定理（PoincaréRecurrence Theorem）斷言對于某類孤立的力學(xué)系統(tǒng)，只要經(jīng)過足夠長的時間，系統(tǒng)一定會回到一個與初始狀態(tài)任意接近的狀態(tài)，或者返回到初始狀態(tài)本身。這個定理適用于守恒系統(tǒng)，即系統(tǒng)的總能量和體積保持不變。龐加萊回歸定理的核心思想是，在一個有限體積的相空間中，系統(tǒng)的軌跡會在時間演化中不斷遍歷這個空間，最終會回到初始狀態(tài)或其附近。換句話說，模擬稀薄氣體分子的大量小球，可以演化到無限接近初始時的狀態(tài)。這就違背了熱力學(xué)第二定律。

玻爾茲曼對此做出的解釋，也是現(xiàn)代教科書普遍采用的解釋是：統(tǒng)計力學(xué)是基于統(tǒng)計的，而龐加萊回歸所需時間的期望值，遠遠超過宇宙的現(xiàn)有壽命，所以系統(tǒng)在幾乎所有時間里都是滿足熱力學(xué)第二定律的，這體現(xiàn)了熱力學(xué)定律在宏觀上的統(tǒng)計意義。

統(tǒng)計力學(xué)奠基人路德維希·玻爾茲曼于1905年訪問了美國加州新成立的斯坦福大學(xué)，在日記里寫道：“在歐洲，如果一個富婆發(fā)瘋了，她會給自己買一打貓或一只鸚鵡；而在這里，她會聘請一流的建筑師，建造一所大學(xué)。”

經(jīng)過幾次質(zhì)疑和反駁，玻爾茲曼的統(tǒng)計力學(xué)開始被人們接受。但最開始的問題仍困擾著那個時代的數(shù)學(xué)家：能否摒棄未經(jīng)證明的假說，單純借助經(jīng)典力學(xué)推導(dǎo)出玻爾茲曼方程（相當(dāng)于說從時間可逆的機械力學(xué)系統(tǒng)演化出時間不可逆的熱力學(xué)系統(tǒng)）？如果不能的話，是不是說明用于構(gòu)建玻爾茲曼方程的那些假說，本身是一個需要客觀承認的新物理事實（定律）？

回應(yīng)：希爾伯特第6問題

在1900年的巴黎國際數(shù)學(xué)家大會，歷史地位至少與龐加萊相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)巨人大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）在演講中提出了著名的23個“面向未來”的問題。

其中第6個問題：

“對幾何基礎(chǔ)的研究提出了這樣一個問題：以公理化的方法同樣處理那些當(dāng)今數(shù)學(xué)已發(fā)揮重要作用的物理科學(xué)；其中首要的是概率論和力學(xué)。……玻爾茲曼關(guān)于力學(xué)基本原理的工作提出了這樣一個問題：如何在數(shù)學(xué)上發(fā)展那些僅被初步闡明的極限過程，進而從原子論的觀點推導(dǎo)出連續(xù)介質(zhì)的運動定律?！?/p>

這里大家也能看到，希爾伯特第6問題是非常寬泛的，最終目標(biāo)是把整個物理學(xué)公理化，但是在問題的進一步闡述中，他特意提及了玻爾茲曼方程和（經(jīng)典）力學(xué)的關(guān)系。結(jié)合前文介紹的背景，也能反推出當(dāng)時學(xué)界對玻爾茲曼的統(tǒng)計力學(xué)的不信任程度，以及希爾伯特迫切期望澄清“可逆的動力學(xué)過程如何演化出不可逆結(jié)果”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

后者（而非為物理學(xué)進行公理化）也是DHM團隊意圖攻克的難題。

歷史上對該問題后半部分的常規(guī)理解是，從稀薄氣體的動力學(xué)玻爾茲曼方程到可壓縮氣體動力學(xué)的連續(xù)歐拉方程和不可壓縮的納維-斯托克斯-傅里葉方程的過渡。但是少有數(shù)學(xué)家嘗試去從牛頓力學(xué)推出玻爾茲曼方程。

直到1975年，美國數(shù)學(xué)家Oscar Erasmus Lanford證明了Lanford定理。他基于粒子均為球?qū)ΨQ粒子彈性碰撞的假設(shè)，證明了在足夠短的時間內(nèi)玻爾茲曼方程的正確性。近年來歐洲的數(shù)學(xué)家們（如Laure Saint-Raymond，Isabelle Gallagher等人）對此問題進行了深入的研究，但希爾伯特第6問題需要對任意長的時間證明玻爾茲曼方程的正確性，在這點上并無突破進展。

主要困難來自于證明不同粒子的（漸近）獨立性的假設(shè)是合理的，也就是前文提及的分子混沌假設(shè)。這被證明更具挑戰(zhàn)性。事實上，最新論文的三位作者甚至花了一些時間才把它作為一個具體的數(shù)學(xué)問題來正確地闡釋。

兩步解決希爾伯特第6問題：從牛頓到玻爾茲曼到流體方程。|圖源：https://arxiv.org/pdf/2503.01800

DHM團隊嘗試解決這一歷史遺留問題，進而完全打通“從牛頓到玻爾茲曼到流體方程”的過程。

他們以及歷史上對“狹義”希爾伯特第6問題的解答，比起為物理學(xué)（某個分支）構(gòu)建一套公理系統(tǒng)（并證明其相容性），更像是證明純粹的數(shù)學(xué)問題（雖然這個問題的背后有豐富的內(nèi)涵和歷史，乃至深刻的哲學(xué)），大意如下：

根據(jù)控制微觀粒子相互作用的牛頓定律，對流體的宏觀方程（如歐拉方程和納維-斯托克斯方程）給出數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的推導(dǎo)，其中，玻爾茲曼動力學(xué)方程的推導(dǎo)是一個關(guān)鍵的中間步驟。換句話說，這個問題需要證明兩個極限的合理性：（i）動力學(xué)極限，即在適當(dāng)?shù)臉O限N→∞中，從N粒子系統(tǒng)的（微觀）牛頓力學(xué)傳遞到單粒子密度函數(shù)的玻爾茲曼動力學(xué)方程，以及（ii）流體力學(xué)極限，即在碰撞頻率趨于無窮大的極限中，從玻爾茲曼動力學(xué)方程傳遞到流體運動的（宏觀）方程。

單個水分子就像是一個小球，足夠多的水分子則可以構(gòu)成水蒸氣。當(dāng)分子小球彼此始終處于碰撞中，我們可以說它們“黏”在了一起，變成了連續(xù)的液體。

把上面樸素的思路進行理論化，就得到了數(shù)學(xué)物理中的kinetic limit的概念。它通常用于描述從微觀動力學(xué)到宏觀行為的過渡。它涉及研究當(dāng)系統(tǒng)中粒子數(shù)量趨于無窮大且粒子間的相互作用范圍趨于零時，系統(tǒng)的行為如何演化。在玻爾茲曼動力學(xué)理論中，kinetic limit是推導(dǎo)玻爾茲曼方程的關(guān)鍵步驟。通過這種極限過程，可以從粒子系統(tǒng)的微觀動力學(xué)（如牛頓定律）推導(dǎo)出描述宏觀行為的動力學(xué)方程（如流體力學(xué)方程）。這一過程通常被稱為Boltzmann-Grad極限，它是稀薄氣體分子運動理論的基礎(chǔ)。

DHM團隊的論文有48頁，但是要想吃透里面的內(nèi)容，則需要對這一領(lǐng)域有全面且深入地理解。至少還需要閱讀歷史上數(shù)十篇相關(guān)的論文，像他們之前在2024年11月發(fā)表的164頁論文，就是為最后一篇所做的準(zhǔn)備工作。

另外值得一提的是，數(shù)學(xué)界有所謂的四大頂刊：Annals of Mathematics（《數(shù)學(xué)年刊》）、Inventiones Mathematicae（《數(shù)學(xué)新進展》）、Acta Mathematica（《數(shù)學(xué)學(xué)報》）和Journal of the American Mathematical Society(JAMS)（《美國數(shù)學(xué)會雜志》）。在這些期刊上發(fā)表論文的難度極高，能夠在其中發(fā)表文章是數(shù)學(xué)家學(xué)術(shù)生涯中的重要成就。剛剛進入研究領(lǐng)域并不算久的鄧煜，已在其中三家刊物上發(fā)表過論文。最近兩年更是連續(xù)有論文被頂刊所采用。

2024年發(fā)布的前期結(jié)果|圖源：https://arxiv.org/abs/2408.07818

他們最新的論文，就算是偏微分方程領(lǐng)域里的專家學(xué)者，也需要漫長的時間來研讀審閱，才能做出評價。筆者限于自身的水平，更無可能對文章進行深入的分析和講解，乃至做出評判。但還是可以糾正一些媒體的報道。比如，有一篇報道提到，他們主要通過4個步驟實現(xiàn)突破，其中第四步是“熵產(chǎn)生機制，通過碰撞序列的馬爾可夫性解釋時間箭頭起源”云云，這部分疑似由AI生成……按照他們團隊的思路，完全不需要解釋熵產(chǎn)生機制——他們只需要從牛頓力學(xué)推出玻爾茲曼方程，后者原本就蘊含H-定理。從前文可知，H-定理相當(dāng)于針對氣體的熱力學(xué)第二定律。此外在論文中也沒有看到關(guān)于馬爾可夫性的應(yīng)用。

鄧煜現(xiàn)就職于芝加哥大學(xué)的數(shù)學(xué)系，在他的知乎個人主頁上有如下個人介紹：

喜愛詩歌、故事、小說、拼圖、漫畫、圍棋、足球以及任何美麗迷人的事物。

誠哉斯言。

參考資料

[1]Yu Deng,Zaher Hani,Xiao Ma,Hilbert's sixth problem:derivation of fluid equations via Boltzmann's kinetic theory,arXiv:2503.01800

[2]Yu Deng,Zaher Hani,Xiao Ma,Long time derivation of the Boltzmann equation from hard sphere dynamics,arXiv:2408.07818

[3]鄧煜芝加哥大學(xué)的個人主頁https://mathematics.uchicago.edu/people/profile/yu-deng/

[4]Yu Deng,https://www.zhihu.com/question/34782710/answer/354811354