本文來自微信公眾號： 返樸 ，作者：嘉偉

7月20日，青年學者Levent?Alp?ge輕描淡寫地在社交媒體上宣稱，代數(shù)幾何里非常重要的雅可比猜想是錯誤的。他借助AI提供的反例極其簡明，懂一點微積分就能驗證和理解！

而這一切，始于一場乏味的世界杯決賽。

看球，也不耽誤數(shù)學發(fā)現(xiàn)

7月20日凌晨，世界杯決賽在沉悶乏味中進行。Anthropic研究員Levent?Alp?ge邊看球邊和朋友Akhil閑聊，聽說代數(shù)幾何中有一個被稱為“災(zāi)難”的雅可比猜想（Jacobian?Conjecture），曾讓許多數(shù)學家折戟。

或許是為了榨干Fable 5的額度，他索性在看球間隙，順手把這個問題丟給了AI。

我們還不清楚他一開始抱有多大期望，但幾小時后，AI甩出了一個讓人“頭皮發(fā)麻”的反例：猜想不成立！

雅可比猜想長期以來被認為是代數(shù)幾何和多項式映射理論中的核心未解問題之一。1998年，菲爾茲獎得主Stephen Smale將其列入著名的《下一個世紀的數(shù)學問題》（Mathematical Problems for the Next Century）第16題，認為它的解決將對數(shù)學發(fā)展產(chǎn)生重要影響。

而這個反例如此簡明、初等，以至于Alp?ge的第一反應(yīng)是手算驗證。他算得“上氣不接下氣”（“這可是雅可比猜想！”），然后一拍腦袋，想起還有Wolfram Alpha——Wolfram Alpha算一遍，AI是對的。

Alp?ge隨即在X上發(fā)了一條極其隨性、連大小寫都沒區(qū)分的推文：

“大家好雅可比猜想是錯的感謝我的好友Akhil問起這事也感謝另一位“好友”Fable在世界杯決賽期間加班加點”（Levent?Alp?ge提到的Akhil，是芝加哥大學數(shù)學系教授Akhil Mathew，此人之前曾用AI工具證偽了一個60年前的格羅滕迪克問題）

帖子引來菲爾茲獎得主Timothy Gowers圍觀，Gowers評價說：“如果這是真的，對我來說，這是LLM（大語言模型）第一次解決了一個不在我研究領(lǐng)域內(nèi)、但我絕對久仰大名的重大問題?！?/p>

懂一點微積分就能理解的雅可比猜想

Alp?ge的帖子堪稱最具“松弛感”的數(shù)學成果發(fā)布，卻在不到15個小時里獲得了1000萬次瀏覽。這可能是被世人最快接受的重大數(shù)學結(jié)論——無須經(jīng)年累月的審稿評議，一旦知道了這個反例，只需幾行代碼，就能在幾秒鐘內(nèi)驗證其正確性。

傳統(tǒng)上認為，雅可比猜想最初由數(shù)學家Ott-Heinrich Keller于1939年提出，因此也常被稱為Keller問題。后來Shreeram Abhyankar在20世紀70年代的講座與論文中使用了“雅可比猜想”（Jacobian Conjecture）這一名稱。他特意將其包裝成一個“只需懂一點微積分就能看懂的問題”，使其在代數(shù)幾何圈子里廣為傳播。

在高中或大一的微積分課程中，如果一個一維實函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)在整個實數(shù)軸上都有f'(x)>0，那么這個函數(shù)必定是嚴格單調(diào)遞增的。既然嚴格單調(diào)遞增，它就不會有“兩個不同的x對應(yīng)同一個y”的情況（即具有單射性），因此它必定在其值域上存在反函數(shù)（可逆）。

然而，當進入復數(shù)域C或者多維空間時，這個直覺就失效了。

例如復指數(shù)函數(shù)f(z)=ez，它的導數(shù)是f'(z)=ez，在整個復平面上處處不為0。但它卻具有周期性：ez+2πi=ez。這意味著許多不同的z都映射到了同一個值，它在全局上是不可逆的。

（從n維復空間映射到n維復空間）局部可逆性的工具叫做雅可比矩陣（Jacobian Matrix），其行列式稱為雅可比行列式（Jacobian Determinant），記作det(JF)。

雅可比矩陣由各分量對各變量的一階偏導數(shù)組成。如果det(JF)在某個點不為0，說明這個映射在該點附近是“局部可逆”的。在n維實空間的情形，這就是數(shù)學分析課堂上會學到的反函數(shù)定理，或更一般的隱函數(shù)定理。

隱函數(shù)定理無疑是非常有用的工具。在AI找到雅可比猜想的反例后，有人事后反思，為什么數(shù)學界沒能發(fā)現(xiàn)如此平凡的反例？一個俏皮的回答是：或許是因為大家都喜歡隱函數(shù)定理。

正因為隱函數(shù)定理如此誘人，知道了“局部可逆”之后，代數(shù)幾何學家們就忍不住想：如果一個映射是由最簡單的多項式構(gòu)成的，而且它的雅可比行列式極其完美——不僅不等于0，甚至在整個空間的每一個角落都等于同一個非零常數(shù)（如處處等于2），那會怎樣？

1939年，數(shù)學家Ott-Heinrich Keller正式提出：

如果我們不考慮一般的復雜函數(shù)，只考慮最簡單的“多項式映射”（每個分量都是多項式），并且限制它的雅可比行列式det(JF)必須是一個非零的常數(shù)c（即不包含任何變量x,y,z...），那么，這個映射是否在“全局”上也必然是可逆的，并且其逆映射也必須是多項式？

對該問題的肯定性推測，就是著名的雅可比猜想。

R.Hartshorne的著名教科書《代數(shù)幾何》第1章第3節(jié)的練習題。上面寫著“The converse of(a)is an unsolved problem,even for n=2”。但沒想到先發(fā)現(xiàn)了n>2時的反例，留下了n=2的情況。

王穗生（Stuart Sui-ShengWang）于1980年發(fā)表的論文證明雅可比猜想在多項式總次數(shù)為2的情形下成立：若映射的每個分量都是二次多項式（或整體次數(shù)≤2），且雅可比行列式為非零常數(shù)，則該映射有多項式逆映射[1]。

后來Hyman Bass、Edwin?Connell和David Wright證明：若要證明一般情形的雅可比猜想，只需證明一個更窄的特例——即只需處理次數(shù)為3的情形；更進一步，可以只考慮“齊次三次型”情形[2]。

文章開頭說它是個“災(zāi)難”性的猜想，除了難度和重要性之外，還有一個緣由：它是錯誤證明的重災(zāi)區(qū)。歷史上有眾多知名數(shù)學家前赴后繼，宣布證明了雅可比猜想，甚至將長篇大論發(fā)表在了頂刊上，但隨后都被找出了致命的漏洞。這在數(shù)學史上并不多見，可以說，雅可比猜想是數(shù)學界最危險的誘惑之一。

錯誤證明的“受害者”名單星光熠熠，其中不乏數(shù)學界的泰斗。比如20世紀意大利幾何學派的重要代表人物之一Beniamino Segre至少提交了三個錯誤證明[3、4、5]。這份名單還包括著名代數(shù)幾何學家Wolfgang Gr?bner、印度裔美國數(shù)學大師Shreeram Abhyankar。

也能從中看出，它曾經(jīng)是很多數(shù)學家為之努力大半生的核心課題。

讓我們親自算一下

之前說這個反例如此簡潔、清晰，每個人幾乎都能很快理解，為什么雅可比猜想是錯的。現(xiàn)在，讓我們一起計算一下。

Levent?Alp?ge的聲明中給出了一個從三維復空間映射到三維復空間的具體多項式映射

其中三個分量多項式具體為：

一個映射要“全局可逆”，首先必須是“單射”（即不能出現(xiàn)不同的輸入映射到同一個輸出）。

聲明中給出了3個完全不同的三維空間輸入坐標：

點A=(0,0,-1/4)；

點B=(1,-3/2,13/2)；

點C=(-1,3/2,13/2)。

我們將這三組坐標分別代入F(x,y,z)的公式中進行驗證，結(jié)果全是：F(A)=F(B)=F(C)=(-1/4,0,0)。

因此，映射F絕對不是單射，也絕對不可能全局可逆。

現(xiàn)在我們再來看看，它的雅可比矩陣的行列式的值是不是非零？

借助著名的科學計算應(yīng)用Wolfram Alpha，可以看到它的值確實是-2！

調(diào)用網(wǎng)頁科學計算器WolframAlpha的計算結(jié)果|圖源：https://www.wolframalpha.com/

如此，找到了一個多元映射F。它的分量都是多項式，并且偏導數(shù)矩陣的行列式是一個非零常數(shù)（-2），但F不是單射。所以著名的雅可比猜想不成立。

或許有讀者朋友意識到，找到的反例還挺簡單的——只能說，認為原猜想成立，或許是人類太一廂情愿了。同時，人類數(shù)學家的運氣也很差。雖然反例近乎平凡，但這個結(jié)果還是非常重大，因為之前一大批頂尖數(shù)學家圍繞它付出了大量的努力。起碼以后不會再做無用功了。

或許，最初稱其為“雅可比問題”而非“雅可比猜想”會更好。文末的參考文獻[6]，詳細記錄了1997年時學術(shù)界支持與反對該猜想成立的論據(jù)。有趣的是，在最終的投票表決中，高達62%的參與者傾向于認為該猜想并不成立。

同時眾所周知，著名的Dixmier猜想——即Weyl代數(shù)的每一個自同態(tài)（endomorphism）都是自同構(gòu)（automorphism），穩(wěn)定等價（Stably Equivalent）于雅可比猜想。所以現(xiàn)在知道Dixmier猜想也不成立。類似地，還有一個涉及Poisson代數(shù)的Poisson猜想，應(yīng)該也已經(jīng)被判了死刑。

雅可比猜想不成立，眾多猜想隨之證偽。|圖源：Przemek Chojecki

AI是怎么找到反例的？

人們開始借助AI工具，推測Alp?ge構(gòu)造反例的思路。一開始有人用Fable 5找到了幾篇古老的論文。這些論文嘗試構(gòu)造了若干類似的多項式，但最后棋差一招。人們懷疑Fable 5最初是靠著檢索這些文章，在前人的思路上找到了正確的方向。

但不久之后，有人用GPT得到以下輸出結(jié)果:

這個思路如此有效，又如此簡單，就像是美國代數(shù)幾何學家Joe Harris的經(jīng)典教材Algebraic Geometry:A First Course前幾章的課后習題。

Levent?Alp?ge證實，他的Fable思考過程與之類似。每個三次式可以（在某些情況下）分解成一條直線因子和一個二次因子。選擇這種分解方式，相當于在原來的空間上加了額外的結(jié)構(gòu)，得到一個三重覆蓋空間。

這樣處理后，得到的映射就是一個??3→??3的態(tài)射（即三維仿射空間到三維仿射空間的多項式映射）。這類映射正是雅可比猜想討論的對象：如果它的雅可比行列式是常數(shù)（非零），那么它是否一定是雙射？這就是雅可比猜想的核心。

事實上，與“門外漢用AI攻克難題”的流行敘事相反，Levent?Alp?ge在數(shù)學界并不是無名之輩。

他是美籍土耳其裔數(shù)學家，極有含金量的哈佛大學學者協(xié)會（Harvard Society of Fellows）的青年研究員（Junior Fellow），主要研究方向是數(shù)論與算術(shù)統(tǒng)計，博士導師是著名數(shù)學家、菲爾茲獎得主Manjul Bhargava[7]。

Levent?Alp?ge自拍|圖源：Levent Alp?ge

幾年前，他與自己導師，以及以色列希伯來大學Ari Shnidman計算了有多少整數(shù)能寫成2個有理數(shù)立方之和。這是不久前才成型的前沿數(shù)學分支——算術(shù)統(tǒng)計領(lǐng)域里的里程碑之作。這個問題與千禧年七大百萬問題之一的伯奇–斯溫頓?戴爾猜想（Birch–Swinnerton?Dyer,BSD）之間，存在深刻的聯(lián)系。

除了上面的工作之外，他與Bhargava、Ari Shnidman繼續(xù)合作，研究三次、四次數(shù)域的單生成性（monogenicity）問題，并證明正比例的數(shù)域不是單生成的。他還證明了平均橢圓曲線上的整點數(shù)量有界，以及參與研究在數(shù)域整數(shù)環(huán)上的Hilbert第十問題，提出算法性結(jié)果[8]。

在博士后的項目結(jié)束后，Levent?Alp?ge沒有選擇留在學術(shù)界，而是加入了迅速崛起的AI企業(yè)Anthropic。

這才有了文章最開始的一幕。

現(xiàn)在，我們雖然已經(jīng)知道，雅可比猜想在一般情況下并不成立，未來的研究方向或許是尋找使得猜想成立的特殊情況。

很多人在談?wù)?年一度的數(shù)學家大會。有人大膽推測，下一屆菲爾茲獎得主里或許就有某個AI模型。甚至Gowers也在不公開場合贊同這個觀點：下一屆可能性很小，但下下屆就不一定。國內(nèi)一些青年學者戲稱Gowers提出了“人類消除定理”——在數(shù)學活動中消除人類的定理。無疑，F(xiàn)able 5的這次應(yīng)用會讓不少人更加憂慮數(shù)學的未來，同時讓另一部分人更加期盼AI的未來。

最后，這個猜想和著名數(shù)學家張益唐有關(guān)。

為張益唐帶來“災(zāi)難”的猜想

張益唐半生蹉跎，可以說與這個猜想淵源頗深。

張益唐的博士學位論文首頁。|圖源：www.math.purdue.edu

我們能在網(wǎng)上搜到一些文章，如《莫宗堅與張益唐：一段未竟的師生和解》如此介紹這件事：

“張益唐把120頁論文交到導師莫宗堅手里，心里篤定自己攻克了那座“峭壁”。論文的核心引理直接引用導師1983年的結(jié)果……然而，審稿人很快發(fā)現(xiàn)：那條引理在一般情形下并不成立。論文被無限期擱置。莫宗堅覺得學生‘太急’，張益唐則認為導師‘有錯不認’。更致命的是，莫宗堅拒絕為他寫推薦信——在北美學術(shù)圈，這無異于關(guān)上了所有大門。張益唐背著‘失敗’的標簽離開普渡，此后端盤子、送快遞、睡地下室……”

筆者找到了張益唐博士學位論文的官方存檔[9]。這份存檔只有22頁，不是120頁；而且它只假設(shè)了雅可比猜想的前提條件——雅可比行列式為非零常數(shù)，然后試圖推出一個較弱的域擴張次數(shù)上界。這與流傳最廣（甚至北大官網(wǎng)也采納過）的說法——張打算證明雅可比猜想——并不相符。不過根據(jù)張益唐在紀錄片里的自述，他確實是打算在博士學位論文里證明這一猜想。所以并不能斷言流傳的說法是錯的。

最近非?；钴S的青年數(shù)學家、菲爾茲獎得主JamesMaynard的弟子Jared Duker Lichtman借著這個機會向西方數(shù)學界推介張益唐的紀錄片。

需要強調(diào)，此次AI證偽的是三維及更高維的雅可比猜想；而張現(xiàn)存的這篇論文研究的是二維雅可比條件下的函數(shù)域擴張次數(shù)。兩者屬于同一問題體系，反例推翻了一般情況下的雅可比猜想，但根據(jù)莫宗堅得到的一個非常著名的結(jié)果——他在1983年中驗證了二維時多項式次數(shù)不超過100的所有情形——二維情況下的雅可比猜想很有可能是正確的。

然后，普渡大學收錄的那篇論文也沒有“被無限期擱置”，而是通過了！所有官方記錄都顯示，他于1991年在普渡大學獲得博士學位，論文題目為The Jacobian Conjecture And The Degree of Field Extension，導師為Tzuong?Tsieng Moh（莫宗堅）。

無論這中間發(fā)生了什么，總之后果是所有人都已知道的：莫沒有給張寫推薦信。張益唐因此找不到正經(jīng)的學術(shù)工作，只能打零工，熬到58歲才名動天下。

最后說明一下，20年前中國計量學院陳彭年教授主持的國家級科研項目《非線性系統(tǒng)鎮(zhèn)定和非線性逼近》研究成果，曾成功破解世界著名難題——Jacobi猜想。這里指的是另一個同名問題，大致上屬于ODE方向的課題。

參考來源

[1]A Jacobian criterion for separability,Journal of Algebra,65(2):453–494

[2]The Jacobian conjecture:reduction of degree and formal expansion of the inverse,Bulletin of the American Mathematical Society,Vol.7,No.2,pp.287–330

[3]Corrispondenze di M?bius e Transformazioni cremoniane intere,Atti Accad.Torino Sci.Nat.91(1956–57),3–19.

[4]Beniamino Segre,Formedifferenziali?e loro?integrali,Vol.II,Roma:Docet,1956.

[5]Beniamino Segre,“Variazione?continua ed?omotopia?in?geometriaalgebrica,”Annali di?Matematica?Pura ed?Applicata,Series IV,50(1960),149–186.

[6]https://seminariomatematico.polito.it/rendiconti/cartaceo/55-4/283.pdf

[7]https://people.math.harvard.edu/~alpoge/cv.pdf

[8]Levent Alp?ge：https://alpo.ge/

[9]https://www.math.purdue.edu/~ttm/Zthesis.pdf

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